Question

2．（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上（点E不与点B，C重合）运动，当∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F时，求证：AE=EF．
（2）如图②，若在（1）的基础上，点E在BC边的延长线上（点E不与点C重合）运动，其他条件不变，问AE和EF相等吗？并说明理由．
（3）若将（1）（2）中的正方形ABCD换成长方形ABCD，AB长为a，BC长为b，其他条件不变，且BE=m．问：如图③，当点E在BC边上（点E不与点B，C重合）运动时，$\frac{AE}{EF}$=$\frac{a-m}{b-m}$；如图④，当点E在BC边的延长线上（点E不与点C重合）运动时，$\frac{AE}{EF}$=$\frac{m-a}{m-b}$．并请对其中的一个结论进行证明．

Answer 1

分析 （1）在AB上取点G，使得BG=BE，连接EG，根据已知条件利用ASA判定△AGE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF；
（2）在BA的延长线上取一点G，使AG=CE，连接EG，根据已知利用ASA判定△AGE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF；
（3）在AB上取点G，使得BG=BE=m，连接EG；证明△AGE∽△ECF，得出对应边成比例，即可得出结果；
（4）在BA的延长线上取点G，使得BG=BE，连接EG；同（3），证明△AGE∽△ECF，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：在AB上取点G，使得BG=BE，连接EG；如图①所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵BG=BE，
∴AG=EC，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形的外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠CEF}&{\;}\\{AG=EC}&{\;}\\{∠AEG=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：AE=EF；
理由：在BA的延长线上取点G，使得AG=CE，连接EG．
∵四边形ABCD为正方形，AG=CE，
∴∠B=90°，BG=BE，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠G=45°，
又∵CF为正方形的外角平分线，
∴∠ECF=45°，
∴∠G=∠ECF=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEM=90°-∠AEB，
又∵∠BAE=90°-∠AEB，
∴∠FEM=∠BAE，
∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠CEF}&{\;}\\{AG=CE}&{\;}\\{∠GAE=∠CEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
（3）证明$\frac{AE}{EF}=\frac{a-m}{b-m}$：如图③，
在AB上取点G，使得BG=BE=m，连接EG；
∵长方形ABCD中，∠B=90°，AB=a，BC=b，BE=m，
∴AG=a-m，EC=b-m，
∵BG=BE=m，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形的外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
∴∠GAE=∠CEF，
∴△AGE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{EC}=\frac{a-m}{b-m}$，
故答案为：$\frac{a-m}{b-m}$；
证明$\frac{AE}{EF}=\frac{m-a}{m-b}$：如图④，
在BA的延长线上取点G，使得BG=BE，连接EG；
由（2）得：∠G=∠ECF=45°，∠GAE=∠CEF，
∴△AGE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{EC}=\frac{m-a}{m-b}$，
故答案为$\frac{m-a}{m-b}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等或相似才能得出结论．