Question

【题目】如图，四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=BC，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接CE，过点B作BG⊥CE于点F，交AD于点G.

(1)如图1，CD=AB.

①求证：四边形ABCD是正方形；

②求证：G是AD中点；

(2)如图2，若CD<AB，请判断G是否仍然是AD的中点?若是，请证明：若不是，请说理由.

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)是，证明见解析.

【解析】

（1）①由旋转的性质可得：AB=BC，进而得到AB与CD平行且相等，判定四边形ABCD为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是90°，判定其为正方形.

②设AB与EC交于P点，证△PAE≌△PBC≌△GAB，即可证明.

（2）延长CD、BG，相交于点M，延长EA交CM于点N.证△BCM≌△CNE与△ABG≌△DMG即可得证.

(1)①由旋转的性质可得：AB=BC

∵CD=AB

∴AB=BC=CD

又∵CD∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形

因为∠ABC=90°，AB=BC

∴平行四边形ABCD是正方形.

②设AB与EC交于P点，

∵BG⊥CE，∠ABC=90°，

∴∠PCB+∠BPC=90°，∠ABG+∠BPC=90°

∴∠PCB=∠ABG

又∵BC=AB,∠ABC=∠BAG=90°

∴△PBC≌△GAB

∴AG=AP

又∵AE=BC,∠ABC=∠EAB=90°,ED∥BC

∴∠BCP=∠AEP

∴△PAE≌△PBC

∴AP=PB= AB

∴AG=AD

即G是AD中点

（2）G仍然是AD的中点；

证明：延长CD、BG，相交于点M，延长EA交CM于点N.

由旋转可知，

AB⊥EN，AE＝CD

∴四边形ABCN是正方形.

∴AN＝CN＝BC，AN⊥CM

易证：△BCM≌△CNE

∴CM＝NE, CM－CD＝NE－AE，即：DM＝AN

∴AB＝AN＝DM.

∴△ABG≌△DMG

∴AG＝DG.