Question

9．方程（$\frac{x-1}{x+3}$）²-4（$\frac{x-1}{x+3}$）+1=0的实数根之积为-$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 设t=$\frac{x-1}{x+3}$，则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程可以求得t的值，然后解关于x的分式方程．

解答 解：设t=$\frac{x-1}{x+3}$，则
t²-4t+1=0，
解得t=2±$\sqrt{3}$．
当t=2+$\sqrt{3}$时，
$\frac{x-1}{x+3}$=2+$\sqrt{3}$，即x=-$\frac{7+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$
经检验x=-$\frac{7+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$是原方程的根．
当$\frac{x-1}{x+3}$=2-$\sqrt{3}$，即x=$\frac{-7+3\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$．
经检验x=$\frac{-7+3\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$是原方程的根．
所以-$\frac{7+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$×$\frac{-7+3\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$=-$\frac{21}{2}$．
故答案是：-$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了换元法解分式方程．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．