Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；
（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线OA的解析式为y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，解得k=2，

∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；

（2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，

∴y=2m（0≤m≤2），

∴M（m，2m），

∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，

∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2），

∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），

∴当m=1时，PB最短，

当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；

（3）解：若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）

则方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．

即方程a2﹣3a+4=0有解，

∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．

∴二次函数的图象不过点Q．

【解析】（1）利用待定系数法，由点A的坐标，即可求出直线OA的函数解析式。
（2）抓住已知二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，顶点M在此直线上，即可用含m的代数式表示出顶点M的坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式，再将x=2代入抛物线的解析式中，即可求出点P的纵坐标即PB的表达式，求出其顶点坐标来求出PB最短时的m值。
（3）将点Q的坐标代入y=（x﹣1）2+2，再判断此方程是否有解，即可作出判断。
【考点精析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质和确定一次函数的表达式的相关知识点，需要掌握正比函数图直线，经过一定过原点．K正一三负二四，变化趋势记心间．K正左低右边高，同大同小向爬山．K负左高右边低，一大另小下山峦；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法才能正确解答此题．