Question

18．已知，A是正方形EKCB内的任意点，分别以AB、AC为直角边，按如图方式作等腰直角三角形，即Rt△ABD、Rt△FAC，又∠ABD=∠FAC=90°，连接DE、EF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？请说明理由．
（3）进一步探究：四边形ADEF与四边形EKCB相似的可能性，并求其相似比．

Answer 1

分析 （1）连接EC，如图1，易证△BCA∽△ECF，从而可得EF=$\sqrt{2}$AB=AD，易证△DBE≌△ABC，从而有DE=AC=AF，即可得到四边形ADEF是平行四边形；
（2）当AC=$\sqrt{2}$AB时，可得AD=AC，由AF=AC可得AD=AF，即可得到平行四边形ADEF是菱形；
（3）当AC=$\sqrt{2}$AB且∠BAC=135°时，可证到四边形ADEF是正方形，显然正方形ADEF与正方形EKCB相似．过点B作BN⊥AC，交CA的延长线于点N，如图2，易得∠BAN=45°，AN=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．设AB=2x，可得AD=2$\sqrt{2}$x，AN=BN=$\sqrt{2}$x，AC=2$\sqrt{2}$x，CN=3$\sqrt{2}$x，BC=2$\sqrt{5}$x，即可求出四边形ADEF与四边形EKCB的相似比．

解答 解：（1）证明：连接EC，如图1．
∵四边形EKCB是正方形，
∴∠EBC=90°，BE=BC，∠BCE=45°，EC=$\sqrt{2}$BC．
∵∠FAC=90°，AC=AF，
∴∠ACF=45°，FC=$\sqrt{2}$AC，
∴∠BCE=∠ACF，$\frac{EC}{FC}$=$\frac{\sqrt{2}BC}{\sqrt{2}AC}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴∠BCA=∠ECF，
∴△BCA∽△ECF，
∴$\frac{BA}{EF}$=$\frac{CA}{CF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{2}$AB．
∵∠ABD=90°，AB=DB，
∴AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=EF．
∵∠ABD=∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
∴DE=AC=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）当AC=$\sqrt{2}$AB时，四边形ADEF是菱形．
理由：∵AD=$\sqrt{2}$AB，AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=AC．
∵AF=AC，
∴AD=AF．
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴平行四边形ADEF是菱形；

（3）当AC=$\sqrt{2}$AB且∠BAC=135°时，
则有四边形ADEF是菱形，且∠DAF=360°-135°-90°-45°=90°，
∴菱形ADEF是正方形，
∴正方形ADEF与正方形EKCB相似．
过点B作BN⊥AC，交CA的延长线于点N，如图2，
则有∠BAN=180°-135°=45°，
∴AN=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．
设AB=2x，则AD=2$\sqrt{2}$x，AN=BN=$\sqrt{2}$x，AC=2$\sqrt{2}$x，CN=3$\sqrt{2}$x，
∴BC=$\sqrt{B{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∴正方形ADEF与正方形EKCB的相似比为$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}x}{2\sqrt{5}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，证到△BCA∽△ECF，从而得到EF=$\sqrt{2}$AB=AD是解决第（1）小题的关键．