Question

【题目】【问题背景】

已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2，我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【问题探究】

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为 ．

（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．

【问题拓展】

（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，将∠AEG绕点A顺时针旋转30°，得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′C′，分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】

试题分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；

（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE=1，BF=3，由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∠ABE+∠FBC=90°，根据∠ABE+∠EAB=90°，得到∠FBC=∠EAB，然后分类讨论，求得矩形的宽．

（3）首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，∠AEO=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．

解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90°∴∠DGC=90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ADC=90°，AD=CD，

∵∠ADE+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠ADE，

∵l3∥l4

∴∠1=∠DCG，

∠ADE=∠DCG，

在△AED与△DGC中，

，

∴△AED≌△GDC（AAS），

∴AE=GD=1，ED=GC=3，

∴AD==，

故答案为：；

（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，

则BE=1，BF=3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠FBC=90°，

∵∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠FBC=∠EAB，

当AB＜BC时，AB=BC，

∴AE=BF=，

∴AB==；

如图3当AB＞BC时，

同理可得：BC=，

∴矩形的宽为：，；

（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l4于点O，N，

∵∠OAE′=30°，则∠E′FN=60°

∵AE′=AE=1，

故E′O=，E′N=，E′D′=，

由勾股定理可知菱形的边长为：==，