Question

【题目】如图，已知抛物线 与 轴、 轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若抛物线与 轴的另一个交点为E，求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出点P的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得
，解得
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，则E（3，0）；
y=-（x-1）2+4，则D（1，4），
∴S△ODE= ×3×4=6；
连接BE交直线x=1于点P，如图，则PA=PE， ∴PA+PB=PE+PB=BE， 此时PA+PB的值最小， 易得直线BE的解析式为 y=-x+3．， 当x=1时，y=-x+3=3， ∴P（1，2）．
【解析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入函数解析式，建立方程组，求解即可求出结果。
（2）先由y=0，解方程求出抛物线与x轴的交点E的坐标，，再求出抛物线的顶点坐标，利用三角形的面积公式求出△ODE的面积；连接BE交直线x=1于点P，利用两点之间线段最短，然后求出直线BE的解析式，易求出点P的坐标。