Question

【题目】如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，某教学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似的给出“黄金分割线”的定义：“一直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．

如图，在中，，，的平分线交于点，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论；

如图，在边长为的正方形中，点是边上一点，若直线是正方形的黄金分割线，求的长．

Answer 1

【答案】直线是的黄金分割线，理由见解析；（2）长为．

【解析】

（1）如图2，根据等高三角形的面积比等于底的比可得，，

要证直线CD是△ABC的黄金分割线，只需证，只需证，易证BC=AD，只需证，只需证△BCD∽△BAC即可；
（2）设BE=x，如图3，易得，，．由直线AE是正方形ABCD的黄金分割线可得，由此得到关于x的方程，解这个方程就可解决问题．

解：直线是的黄金分割线．

理由：如图，

∵，，

∴．

∵平分，

∴，

∴，，

∴，，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴直线是的黄金分割线；

设，如图，

∵正方形的边长为，

∴，，

∴．

∵直线是正方形的黄金分割线，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

解得：，．

∵点是边上一点，

∴，

∴，

∴长为．