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【题目】如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点ABC,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上,已知AB=5km

1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路,不考虑其它因素,求出这条公路的长;(结果精确到0.1km

2)求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km

(参考数据: =1.73 =2.24sin53°=cos37°=0.80sin37°=cos53°=0.60tan53°=1.33tan37°=0.75sin38°=cos52°=0.62sin52°=cos38°=0.79tan38°=0.78tan52°=1.28sin75°=0.97cos75°=0.26tan75°=3.73.)

【答案】13.1km;(24km

【解析】解:(1)如图,过点DDEAC于点E

过点AAFDB,交DB的延长线于点F,在RtDAF中,∠ADF=30°

AF=AD=×8=4DF=

RtABFBF==3

BD=DF﹣BF=4﹣3sinABF=

RtDBE中,sinDBE=∵∠ABF=DBEsinDBE=

DE=BDsinDBE=×4﹣3=≈3.1km),

∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km

2)由题意可知∠CDB=75°

由(1)可知sinDBE==0.8,所以∠DBE=53°

∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°

RtDCE中,sinDCE=DC=≈4km),

∴景点C与景点D之间的距离约为4km

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