Question

已知AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB=6，cd=4，BD=14，则在BD上是否存在点P，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：计算题

分析：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当

AB

CD

=

BP

DP

时，△ABP∽△CDP，即

6

4

=

14-x

x

；当

AB

DP

=

BP

DC

时，△ABP∽△PDC，即

6

x

=

14-x

4

；然后分别解方程求出x即可．

解答：解：存在．
设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当

AB

CD

=

BP

DP

时，△ABP∽△CDP，即

6

4

=

14-x

x

，解得x=

28

5

；
当

AB

DP

=

BP

DC

时，△ABP∽△PDC，即

6

x

=

14-x

4

，整理得x²-14x+24=0，解得x₁=2，x₂=12，
∴当DP为

28

5

或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．