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【题目】已知:正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上,设点B(4,4),点P(t,0)是x轴上一动点,过点O作OH⊥AP于点H,直线OH交直线BC于点D,连AD.

(1)如图1,当点P在线段OC上时,求证:OP=CD;

(2)在点P运动过程中,△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时,求t的值;

(3)如图2,抛物线y=﹣x2+x+4上是否存在点Q,使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2) 综上,t1=2,t2,t3;(3)见解析.

【解析】

1)证,可以证明它们所在的三角形全等,即证明:;已知的条件有:,只需再找出一组对应角相等即可,通过图示可以发现是同角的余角,这两个角相等,那么证明三角形全等的全部条件都已得出,则结论可证;

2)点轴上运动,那么就需分三种情况讨论:

①点轴负半轴上;可以延续(1)的解题思路,先证明全等,那么得到的条件是,然后用表示的长,再根据给出的相似三角形得到的比例线段,列等式求出此时的值,要注意的正负值的判断;

②点在线段上时;由于都小于等于正方形的边长(即),所以只有时,给出的两个三角形才有可能相似(此时是全等),可据此求出的值;

③点在点的右侧时;方法同①;

3)这道题要分两种情况讨论:

①线段为平行四边形的对角线,那么点关于的中点对称即两点的纵坐标互为相反数,而,即的横坐标相同,那么先用表示出点的坐标,代入抛物线的解析式中,即可确定的值;

②线段为平行四边形的边;先用表示出的长,把点向左或向右平移长个单位就能表达出点的坐标,代入抛物线解析式后即可得到的值.

(1)证明:∵OD⊥AH,

∴∠OAP=∠DOC=90°﹣∠AOD;

正方形OABC中,OA=OC=4,∠AOP=∠OCD=90°,即:

∴△AOP≌△OCD

∴OP=CD.

(2)解:①点P在x轴负半轴上时,P(t,0),且t<0,如图①;

∵在Rt△AOP中,OH⊥AP,

∴∠POH=∠PAO=90°﹣∠APO;

又∵∠POH=∠COD,

∴∠COD=∠PAO;

在△AOP与△OCD中,

∴△AOP≌△OCD;

∴OP=CD=﹣t,则:BD=BC+CD=4﹣t;

若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似,则有:

,得:

解得:(正值舍去);

②当点P在线段OC上时,P(t,0),0<t≤4,如图②;

因为OP<OA、BD<AB、OA=AB,

若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似,那么有:,所以OP=BD,即:

t=4﹣t,t=2;

③当点P在点C右侧时,P(t,0),t>4,如图③;

同①可求得

综上,t1=2,

(3)解:假设存在符合条件的点Q,分两种情况讨论:

①PC为平行四边形的对角线,则QP∥CD,且QP=CD;

若P(t,0)、D(4,t),则Q(t,﹣t),代入抛物线中,得:

,即:t2﹣10t﹣24=0,

解得:t1=﹣2,t2=12;

②PC为平行四边形的边,则DQ∥PC,且QD=PC;

若P(t,0)、D(4,t),则 PC=QD=|t﹣4|,Q(t,t)或(8﹣t,t);

Q(t,t)时,,即:t2+2t﹣24=0,

解得 t1=4(舍)、t2=﹣6;

Q(8﹣t,t)时,,即:t2﹣6t+8=0,

解得 t1=4(舍)、t2=2.

综上可知,t1=2,t2=12,t3=﹣6,t4=﹣2.

∴存在点Q,使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形.

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