【题目】已知:正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上,设点B(4,4),点P(t,0)是x轴上一动点,过点O作OH⊥AP于点H,直线OH交直线BC于点D,连AD.
(1)如图1,当点P在线段OC上时,求证:OP=CD;
(2)在点P运动过程中,△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时,求t的值;
(3)如图2,抛物线y=﹣x2+x+4上是否存在点Q,使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) 综上,t1=2,t2=,t3=;(3)见解析.
【解析】
(1)证,可以证明它们所在的三角形全等,即证明:;已知的条件有:,,只需再找出一组对应角相等即可,通过图示可以发现、是同角的余角,这两个角相等,那么证明三角形全等的全部条件都已得出,则结论可证;
(2)点在轴上运动,那么就需分三种情况讨论:
①点在轴负半轴上;可以延续(1)的解题思路,先证明、全等,那么得到的条件是,然后用表示、的长,再根据给出的相似三角形得到的比例线段,列等式求出此时的值,要注意的正负值的判断;
②点在线段上时;由于、都小于等于正方形的边长(即、),所以只有时,给出的两个三角形才有可能相似(此时是全等),可据此求出的值;
③点在点的右侧时;方法同①;
(3)这道题要分两种情况讨论:
①线段为平行四边形的对角线,那么点、关于的中点对称即两点的纵坐标互为相反数,而,即、的横坐标相同,那么先用表示出点的坐标,代入抛物线的解析式中,即可确定的值;
②线段为平行四边形的边;先用表示出的长,把点向左或向右平移长个单位就能表达出点的坐标,代入抛物线解析式后即可得到的值.
(1)证明:∵OD⊥AH,
∴∠OAP=∠DOC=90°﹣∠AOD;
正方形OABC中,OA=OC=4,∠AOP=∠OCD=90°,即:
∵,
∴△AOP≌△OCD
∴OP=CD.
(2)解:①点P在x轴负半轴上时,P(t,0),且t<0,如图①;
∵在Rt△AOP中,OH⊥AP,
∴∠POH=∠PAO=90°﹣∠APO;
又∵∠POH=∠COD,
∴∠COD=∠PAO;
在△AOP与△OCD中,
∵,
∴△AOP≌△OCD;
∴OP=CD=﹣t,则:BD=BC+CD=4﹣t;
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似,则有:
,得:,
解得:或(正值舍去);
②当点P在线段OC上时,P(t,0),0<t≤4,如图②;
因为OP<OA、BD<AB、OA=AB,
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似,那么有:,所以OP=BD,即:
t=4﹣t,t=2;
③当点P在点C右侧时,P(t,0),t>4,如图③;
同①可求得;
综上,t1=2,,.
(3)解:假设存在符合条件的点Q,分两种情况讨论:
①PC为平行四边形的对角线,则QP∥CD,且QP=CD;
若P(t,0)、D(4,t),则Q(t,﹣t),代入抛物线中,得:
,即:t2﹣10t﹣24=0,
解得:t1=﹣2,t2=12;
②PC为平行四边形的边,则DQ∥PC,且QD=PC;
若P(t,0)、D(4,t),则 PC=QD=|t﹣4|,Q(t,t)或(8﹣t,t);
Q(t,t)时,,即:t2+2t﹣24=0,
解得 t1=4(舍)、t2=﹣6;
Q(8﹣t,t)时,,即:t2﹣6t+8=0,
解得 t1=4(舍)、t2=2.
综上可知,t1=2,t2=12,t3=﹣6,t4=﹣2.
∴存在点Q,使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形.
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【题目】如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯.该滑梯的高度AC=2 m,滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m.
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m);
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全,请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求.
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.
(1)求证:DP是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+3x﹣8的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点,当△BCF的面积最大时,在抛物线的对称轴上找一点P,使得△BFP的周长最小,请求出点F的坐标和点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点Q(0,m),使得△BFQ为等腰三角形?如果有,请直接写出点Q的坐标;如果没有,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,动点 P 以 2cm/s 的速度从点 A 出发,沿AC 向点 C 移动,同时动点 Q 以 1cm/s 的速度从点 C 出发,沿 CB 向点 B 移动,设 P、Q 两点移动 ts(0<t<5)后,△CQP 的面积为 Scm2.在 P、Q 两点移动的过程中,△CQP 的面积能否等于 3.6cm2?若能,求出此时 t 的值;若不能,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点C(0,2),它的顶点为D(1,m),且.
(1)求m的值及抛物线的表达式;
(2)将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=OB.若点A是由原抛物线上的点E平移所得,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点(位于x轴上方),且∠APB=45°.求P点的坐标.
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