Question

【题目】已知，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BD平分∠ ABC，∠CAD=45， AC=4，点E是线段BD的中点，则CE的最小值为 ．

Answer 1

【答案】-1.
【解析】∵∠ABC=90°，
∴点A、B、C三点共圆，AC是直径，
又∵ BD平分∠ ABC，
∴∠DBC=45°，且∠CAD=45°，
∴点D也在点A、B、C三点所确定的圆上，
即点A、B、C、D四点共圆.
如下图：设此圆为圆O.

当点B与点A重合时，点E在AD的中点M处，点B与点C重合时，点E在DC的中点N处，
∴当点E的运动轨迹是以MN的中点O'为圆心，以O'O=O'M=O'N为半径的圆的一部分，

∴当点E运动到CE所在的直线过圆心O'时，CE有最小值，
此时：连接O'O，MN，O'E，
∵AC是直径， AC=4，且∠CAD=45°，M、N分别是AD、DC中点
∴ADC是等腰直角三角形，O'O⊥AC，O'O=O'M=O'N=1，
在RtO'OC中，O'C==,
∴CE=O'C-O'N=-1.
所以答案是：-1.
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．