Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；

（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；

（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；
（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值．

（1）∵点、在抛物线上

∴，解得

∴抛物线的解析式为，

∴顶点B的坐标是；

（2）如图，

∵，

∴直线AB解析式为：y=x-8，

∵

∴直线OP解析式为：y=x，

设点，

∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平于AB，QA不平行于OB
∴四边形OQAB为梯形
又∵∠QAB=∠OBA
∴四边形OQAB为等腰梯形
∴QA=OB
∴（6-3k）2+（4k）2=25

∴或（舍去）

∴

（3）由（1）知

设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为

∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）
∴0＜m＜3，-4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F

∴且

∴∽

∴

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴或者（舍去）

∴