Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．

（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；

（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM.

【解析】

（1）先证明四边形AEFG是平行四边形，再证明AE＝AG即可．

（2）先证明AB＝AG，再分别证明AB＝BF＝CF＝EM，CM＝AG即可．

（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，

∴∠ADF＝∠GFC＝90，

∴AE∥GF，

在△ABG和△FBG中，

，

∴△ABG≌△FBG，

∴AG＝FG，

∵∠FBG+∠BED＝90，

∵∠BED＝∠AEG，

∴∠FBG+∠AEG＝90，

∵∠ABG+∠AGE＝90，

∵∠ABG＝∠FBG，

∴∠AEG＝∠AGE，

∴AE＝AG，

∴AE＝FG，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∵AE＝AG∴四边形AEFG是菱形．

（2）解：∵四边形AEFG是菱形，

∴AE＝AG，

∵BE＝EG，∠BAG＝90，

∴AE＝BE＝EG，

∴△AEG是等边三角形，

∴∠AGE＝60，

在RT△ABG中，∵∠ABG＝30，

∴AB＝AG÷cos30=AG，

∵∠C＝30，

∴BC＝2AB，

∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，

∴BF＝FC，CM＝GM，

在RT△AEM中，∵∠AME＝∠C＝30，∠GEM+∠GME＝60，

∴∠GEM＝∠GME＝30，

∴EG＝AG＝GM＝CM，

∵EM∥FC，EF∥CM，

∴四边形EFCM是平行四边形，

∴AB＝BF＝CF＝EM＝CM，

∴是CM 倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．