Question

7．如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB=2：1，点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接PB．
（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB=30°，线段PA与PB的比值为2
（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连接CD，求证：①CD=CB′；②PA=2PB；
（3）如图4，若AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下小题中选做一题：
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB；
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点，如点P在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径．

Answer 1

分析 （1）如图2，根据对称性质得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根据折叠性质得CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，则AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，利用正弦定义可计算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系易得PA=2PB；
（2）①与（1）一样可得∠PB′C=∠PBC，再根据圆内接四边形的性质得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，于是根据等腰三角形的判定得到CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，如图3，利用对称性质得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，则CF为△BEB′的中位线，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，则AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；
（3）选①进行证明，作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，如图4，与（2）中②的证明方法一样．

解答 （1）解：如图2，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，
∴CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，
∵AC：CB=2：1，
∴AC=2CB′，
在Rt△AB′C中，sin∠A=$\frac{CB′}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
在Rt△PAB中，PA=2PB；
故答案为30°；2；
（2）证明：①∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，
∴∠PB′C=∠PBC，
∵∠CDB′=∠CBP，
∴∠CDB′=∠CB′D，
∴CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，如图3，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴FB=FB′，PB=PB′，
而CF∥B′E，
∴BC=CE，
∵AC=2BC，
∴AE=EC，
而B′E∥PC，
∴AB′=PB′，
∴PA=2PB′=2PB；
（3）选①．
证明：作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，如图4，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴FB=FB′，QB=QB′，
而CF∥B′E，
∴BC=CE，
∵AC=2BC，
∴AE=EC，
而B′E∥QC，
∴AB′=QB′，
∴QA=2QB′=2QB．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆内接四边形的性质、轴对称的性质和三角形中位线的性质；会解直角三角形．