Question

如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°．⊙O和底边BC相切于BC的中点D，并与两腰相交于E、F、G、H四点，其中点G、F分别是两腰AB、AC的中点．求证：五边形DEFGH是正五边形．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：连结DF、DG，先证得四边形AFDG是菱形，得出∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°，根据切线的性质得出∠CDE=∠CFD=36°，根据平行线的性质得出∠FDC=∠B=72°，从而求得∠EDF=36°，进而求得∠BGD=∠CFD=∠EFD=∠FDG=∠GDH=36°，根据圆周角的性质得出

HD

=

DE

=

EF

=

FG

=

GH

，即D、E、F、G、H将⊙O五等分，即可证得五边形DEFGH是正五边形．

解答：证明：连结DF、DG，
∵G、F分别是两腰AB、AC的中点．D是等腰三角形ABC底边的中线，
∴GD∥AC，GD=AF=

1

2

AC，DF∥AB，DF=AG=

1

2

AB，
∴四边形AFDG是平行四边形，
∵AB=AC，
∴GD=DF，
∴四边形AFDG是菱形，
∴∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°，
∵BC是切线，
∴∠CDE=∠CFD=36°，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠B=72°，
∴∠EDF=36°，
同理：∠GDH=36°，
∴∠BGD=∠CFD=∠EFD=∠FDG=∠GDH=36°，
∴

HD

=

DE

=

EF

=

FG

=

GH

，
即D、E、F、G、H将⊙O五等分，
∴五边形DEFGH是正五边形．

点评：本题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是本题的关键．