Question

【题目】.如图①，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；……将余下部分沿BnAnC（n为正整数）的平分线AnBn1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次点Bn与点C恰好重合，我们就称BAC是ABC的好角．

小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形．

情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角BAC是平分线AB1折叠，点B与点C重合；

情形二：如图③，沿ABC的BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

（探究发现）

⑴如图③，ABC中，B2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？ ．（填：“是”或“不是”）

⑵归纳猜想：（i）如图④，小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（BC）之间的等量关系，并说明理由．

（ii）根据以上内容猜想：若经过n（n为正整数）次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（BC）之间的等量关系为 ．（直接写出结论）

⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15,60,105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角，请你完成，如果一个三角形的最小角是10，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

Answer 1

【答案】（1）是；

（2）∠B=3∠C；∠B=n∠C；

（3）60°，105°；

(4）10°，160°．

【解析】

（1）仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C，由∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；
（3）根据好角的定义即可得出结果；
（4）根据好角的定义进行推理计算，即可得出结果．

解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C；
故答案为：是；
（2）∠B=3∠C；
在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
理由如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
故答案为：∠B=3∠C；∠B=n∠C；
（3）由前边可以知道∠B和∠C有倍数关系，∠A是好角
所以60°=4×15°，60和15有倍数关系，105°应该是好角
105°=7×15°，105和15有倍数关系，60°应该是好角
故答案为：60°，105°；
（4）10°，160°；由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
因为最小角是10°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数）．
由题意，得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17．
因为m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子，
因此有：m=1，n+1=17；
所以m=1，n=16；
所以10m=10°，10mn=160°；
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：10°，160°；
故答案为：10°，160°．