Question

在平面直角坐标系中，Rt△ACB如图放置，∠ACB=90°，∠B=30°，C（0，3），AB=4

3

，直线DP垂直平分AB，交BC于点D（

3

，2），交x轴于点E，且DP=DC．
（1）试直接写出A、B两点的坐标．
（2）试判断DE与DC之间的数量关系，并说明理由．
（3）连接AP，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）易求得tanB的值，即可求得OB的长，即可求得OA的长，即可解题；
（2）根据C，D点坐标可求得CD的长，易求DE的长，即可解题；
（3）点Q位置存在4种情况；分类讨论①∠QCD=120°，QC=AD；②∠QCD=120°，QC=AD；③∠QDC=120°，QD=AD；④∠QDC=120°，QD=AD；即可解题．

解答：解：（1）∵∠B=30°，
∴tanB=

3

3

=

OC

OB

，
∴OB=3

3

，
∵AB=4

3

，
∴OA=

3

，
∴点A（-

3

，0），B（3

3

，0）；
（2）∵C点坐标为（0，3），D点坐标为（

3

，2），
∴CD=

( 3 )2+(3-2)2

=2，
∵DE=2，
∴CD=DE；
（3）点Q位置存在4种情况；

∵AE=2

3

，DE=2，
∴tan∠DAE=30°，AD=4，
∵∠B=30°，
∴∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠ADP=120°，
∵△QCD≌△ADP，CD=DP，
∴QC=AD或QD=AD，
①∠QCD=120°，QC=AD=4，
Q点在y轴上，则点Q坐标（0，7）；
②∠QCD=120°，QC=AD=4，
∵∠QCD=∠ADB=120°，
∴直线QC斜率为

3

3

，
∵直线QC经过点C（0，3），
∴设直线QC解析式为y=

3

3

x+3，
∴点Q坐标为（-2

3

，1）；
③∠QDC=120°，QD=AD=4，
Q点在直线x=

3

上，则点Q坐标（

3

，-2）；
④∠QDC=120°，QD=AD=4，
Q点在直线AD上，
∴点Q坐标（3

3

，4）；
综上所述，点Q坐标为（0，7）或（-2

3

，1）或（

3

，-2）或（3

3

，4）．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中运用，本题考查了分类讨论思想，本题中根据全等三角形对应边相等性质求解是解题的关键．