Question

【题目】已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF

（1）依题意补全图形；

（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；

（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF=DE+BF，见解析；（3）2π

【解析】

（1）依题意补全图形即可；

（2）延长AD到点H，使DH＝BF，连接CH，证明△CDH≌△CBF（SAS）．得出CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．证明△ECH≌△ECF（SAS）．得出EH＝EF．即可得出结论；

（3）确定点G的运动轨迹，利用弧长公式计算即可．

解：（1）补全图形如图1．

（2）线段DE，EF，BF的数量关系是 EF=DE+BF

证明：延长AD到点H，使DH=BF，连接CH（如图2）．

易证△CDH≌△CBF．

∴CH= CF，∠DCH=∠BCF．

∵∠ECF=45°，

∴∠ECH=∠ECD+∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°．

∴∠ECH=∠ECF=45°．

又∵CE= CE，

∴△ECH≌△ECF．

∴EH= EF．

∴EF=DE+BF．

（3）点G运动的路线长为2π