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【题目】如图在直角坐标系中,四边形ABCO为正方形,A点的坐标为(a0),D点的坐标为(0b),且ab满足(a32+|b|0

1)求A点和D点的坐标;

2)若∠DAEOAB,请猜想DEODEB的数量关系,说明理由.

3)若∠OAD30°,以AD为三角形的一边,坐标轴上是否存在点P,使得△PAD为等腰三角形,若存在,直接写出有多少个点P,并写出P点的坐标,选择一种情况证明.

【答案】1D0),A30);(2DEOD+EB 理由见解析;(3)点P的坐标为:∴P(﹣30)或(03)或(0,﹣)或(10)或(3+20)或(320).证明见解析.

【解析】

(1)根据完全平方式和绝对值的非负性确定a,b的值,从而求点的坐标;

2)在CO的延长线上找一点F,使OFBE,连接AF,通过△AOF≌△ABE得到AFAE,∠OAF=∠BAE,等量代换得到∠DAF=∠EAD,进而证明△AFD≌△AED从而求解

(3)分三种情形讨论求解:AD=DPAD=APPD=AP,分别画图根据ADOA的长确定点P的坐标.

1)∵(a32+|b|0

a3b

D0),A30);

2DEOD+EB 理由如下:

如图1,在CO的延长线上找一点F,使OFBE,连接AF

在△AOF和△ABE中,

∴△AOF≌△ABESAS),

AFAE,∠OAF=∠BAE

又∵∠OAB90°,∠DAE

∴∠BAE+DAO45°,

∴∠DAF=∠OAF+DAO45°,

∴∠DAF=∠EAD

在△AFD和△AED中,

∴△AFD≌△AEDSAS),

DFDEOD+EB

3)有3种情况共6个点:

DADP时,如图2

RtADO中,ODOA3

AD

P1(﹣30),P203),P30,﹣);

AP4DP4时,如图3

∴∠ADP4=∠DAP430°,

∴∠OP4D60°,

RtODP4中,∠ODP430°,OD

OP41

P410);

ADAP时,如图4

ADAP5AP62

P53+20),P6320),

综上,点P的坐标为:∴P(﹣30)或(03)或(0,﹣)或(10)或(3+20)或(320).

证明:P53+20),

∵∠OAD30°且△ADO是直角三角形,

又∵AO3DO

DA2

P5A|3+23|2

P5ADA

∴△P5AD是等腰三角形.

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