Question

7．如图，等腰直角三角形ABC，AB=BC，直角顶点B在直线PQ上，且AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E．
（1）△ADB与△BEC全等吗？为什么？
（2）图1中，AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．
（3）将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°，求出∠DAB=∠CBE，根据AAS推出△ADB≌△BEC即可；
（2）根据全等得出AD=BE，CE=DB，即可求出答案；
（3）证明过程和（1）（2）类似．

解答 解：（1）△ADB≌△BEC，
理由是：∵AD⊥PQ，CE⊥PQ，
∴∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△ADB和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠CBE}\\{∠ADB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BEC（AAS）；

（2）CE+AD=DE，
理由是：∵△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，CE=DB，
∵DB+BE=DE，
∴CE+AD=DE；

（3）CE-AD=DE，
理由是：∵AD⊥PQ，CE⊥PQ，
∴∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△ADB和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠CBE}\\{∠ADB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BEC（AAS）；
∴AD=BE，CE=DB，
∵DB-BE=DE，
∴CE-AD=DE．

点评 本题考查了垂直定义，全等三角形的性质和判定的应用，能推出△ADB≌△BEC是解此题的关键，证明过程类似．