Question

9．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A（1，0），B（5，0）两点，顶点为D，直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交x轴、y轴于点E、F，交抛物线于M、N两点．
（1）抛物线的解析式为y=-x²+6x-5；点D的坐标为（3，4）；
（2）点P为直线MN上方的抛物线上的点，当△PMN的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使点Q关于直线EF的对称点在x轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点式解析式，可得顶点坐标；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得P，G点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PG的长，根据解方程组，可得M、N的横坐标，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得P点的横坐标，再根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得∠ADG=∠FEO，根据余角的性质，可得∠IDH+∠DIH=90°，根据直角三角形的判定，可得∠DHE=90°，根据线段垂直平分线的定义，可得EF为AD中垂线，根据线段垂直平分线的性质，可得直线ED上的点关于直线EF的对称点都在x轴上，根据解方程组，可得Q点坐标．

解答 解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+6x-5，
y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
点D的坐标为（3，4）；
故答案为：y=-x²+6x-5，（3，4）；
（2）如图1，
过P作PG⊥x轴交EF于G点，设P（m，-m²+6m-5），G（m，-$\frac{1}{2}$m+3），
PG=-m²+6m-5-（-$\frac{1}{2}$m+3）=-m²+$\frac{13}{2}$m-8．
联立抛物线与直线EF，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+6x-5}\\{y=-\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$，
化简，得
2x²-13x+16=0，
解得x₁=$\frac{13+\sqrt{41}}{4}$，x₂=$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$，
S_△PMN=S_△PGN+S_△PGM=$\frac{1}{2}$PG•（x_N-3）+$\frac{1}{2}$PG•（3-x_M）
=$\frac{1}{2}$PG（x_N-x_M）
=$\frac{1}{2}$（-m²+$\frac{13}{2}$m-8）（$\frac{13+\sqrt{41}}{4}$-$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$）
=-$\frac{\sqrt{41}}{4}$（m-$\frac{13}{4}$）²+$\frac{17\sqrt{41}}{16}$，
当m=$\frac{13}{4}$时，S_最大=$\frac{17\sqrt{41}}{16}$，
当m=$\frac{13}{4}$时，-m²+6m-5=-（$\frac{13}{4}$）²+6×$\frac{13}{4}$-5=$\frac{63}{16}$，
即P（$\frac{13}{4}$，$\frac{63}{16}$），
当△PMN的面积最大时，点P的坐标（$\frac{13}{4}$，$\frac{63}{16}$）；
（3）如图2，
连接AD交MN于点H，过D作DG⊥x轴于G，连接DE，
∴AG=2，DG=4，$\frac{AG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
又∵F（0，3），E（6，0），
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{OF}{OE}$，
∴△OFE∽△GAD，
∴∠ADG=∠FEO，
∴∠DHE=∠DGE=90°
∴EF⊥AD，
又∵AD中点为（2，2），将（2，2）代入EF解析式2=-$\frac{1}{2}$×2+3，
∴H为AD中点，
∴EF为AD中垂线，连结ED，
则直线ED上的点关于直线EF的对称点都在x轴上．
∵D（3，4），E（6，0），
∴y_DE=-$\frac{4}{3}$x+8，
连接DE与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+8}\\{y=-{x}^{2}+6x-5}\end{array}\right.$
消元，得
-$\frac{4}{3}$x+8=-x²+6x-5．
解得x₁=3，-$\frac{4}{3}$x+8=4，Q（3，4）；
x₂=$\frac{13}{3}$，-$\frac{4}{3}$x+8=$\frac{20}{9}$，Q（$\frac{13}{3}$，$\frac{20}{9}$）；
∴在抛物线上存在点Q，使点Q关于直线EF的对称点在x轴上，点Q的坐标为Q₁（3，4），Q₂（$\frac{13}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用配方法得出顶点坐标；利用图形割补法是求面积的关键；利用了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义与性质．