Question

12．如图：已知?ABCD中，以AB为斜边在?ABCD内作等腰直角△ABE，且AE=AD，连接DE，过E作EF⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF=15°
（1）若EF=$\sqrt{3}$，求AB的长．
（2）求证：2GE+EF=AB．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥AB，交AB于H，根据等腰直角三角形的性质得到∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，于是得到EH=HB=AH=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，求得∠FEH=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论；             
（2）连接EC，根据三角形的内角和得到∠DEA=∠EDA=75°，于是得到∠EAD=30°，求出∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，由于∠ABE=45°，得到∠CBE=60°，推出△BCE是等边三角形，求出∠DCE=15°，CE=BE=AE，推出DG=2GE，证得△AEF≌△ECG，根据全等三角形的性质得到GC=FE，即可得到结论．

解答 解：（1）作EH⊥AB，交AB于H，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，
∴EH=HB=AH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，
∴∠FEH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$EH=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，

（2）连接EC，
∵∠AEF=15°，EF⊥DE，AE=AD，
∴∠DEA=∠EDA=75°，
∴∠EAD=30°，
∵∠BAE=45°，
∴∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBE=60°，
∵AD=BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠DCE=15°，CE=BE=AE，
∵∠GED=90°，∠GDE=30°，∠DGE=60°，
∴DG=2GE，
∵∠EGC=105°=∠AFE，CE=EF，∠DCE=15°=∠AEF，
在△AEF与△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGC=∠AFE}\\{CE=EF}\\{∠DCE=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ECG，
∴GC=FE，
∴AB=DC=DG+GC=2GE+CG=2GE+EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．