Question

10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切于点A，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F，点G在射线AF上，且∠GCB=2∠BAF．
（1）求证：直线GC是⊙O的切线；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AD=4，求线段GC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是$\widehat{BC}$的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠GCB=2∠BAF，即可求得∴∠GCB+∠OCE=90°，继而证得直线GC是⊙O的切线；
（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3-r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CGE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段GC的长．

解答 （1）证明：连结OC
∵AD与⊙O相切于点AAF为⊙O直径，
∴AF⊥AD，
又∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF⊥BC，
∴∠OEC=90°，BE=CE，$\widehat{CF}$=$\widehat{BF}$，
∴∠COE=2∠BAF，
∵∠GCB=2∠BAF，
∴∠COE=∠GCB，
∵∠COE+∠OCE=90°，
∴∠GCB+∠OCE=90°，即∠OCG=90°，
∴OC⊥CG，
又∵OC为半径，
∴GC为⊙O的切线；
（2）∵AD=4，
∴BC=4，
∴BE=2，
在RT△ABE中，AE=$\sqrt{（2-\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
设⊙O的半径为r，则在RT△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴r²=（4-r）²+2²，解得r=$\frac{5}{2}$，
∴OE=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
又∵∠COE=∠GCB，∠OEC=∠GEC=90°
∴△OCE∽△CGE，
∴$\frac{OC}{CG}$=$\frac{OE}{BE}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{CG}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$．
∴CG=$\frac{10}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．