Question

19．阅读材料：
如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．这是一元二次方程的根与系数的关系．我们可以利用它来解题．例如：x₁，x₂是一元二次方程x²+2x-5=0的两个根，求x₁²+x₂²的值．
解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²+2x-5=0的两个根，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-5．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-2）²-2×（-5）=4+10=14．
解决问题：已知x₁，x₂是一元二次方程2x²-4x-5=0的两个根，求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值．

Answer 1

分析 根据根与系数关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{5}{2}$，再把$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程2x²-4x-5=0的两个根，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{-\frac{5}{2}}$=-$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．