Question

【题目】

已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．

（1）求证：MN∥BC；

（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．

证明见解析．

【解析】

（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME．

∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．

∴∠MEC=∠NCD．

∵，∴．

∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．

∴△MEC≌△NCD．

∴．

又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．

∴MN∥BC．

证法二：延长CD到F，使得，联结AF．

∵，，∴．

∵，∴MC∥AF．

∵MC∥DN，∴ND∥AF．

又∵，∴．

∴MN∥BC．

（2）解：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．

证明如下：

∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．

∵∠ACB=90°，，∴．

∵，∴BMDN．

∴四边形BDNM是等腰梯形．