Question

【题目】阅读材料题：

浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.

小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为 .

（方法迁移）：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.

（能力拓展）：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的长.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）90°；（3）

【解析】

如图一，根据旋转的性质可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾股定理求出PB即可；

[方法迁移]：将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，根据旋转的性质可得△PAP'是等边三角形，利用勾股定理逆定理可证∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，问题得解；

[能力拓展]：将△CAD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，易证△CDE≌△CD'E，可得DE=D'E，然后根据旋转的性质求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，过点D'作D'F⊥AB于F，根据含30°直角三角形的性质求出BF和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，问题得解.

解：如图一，将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，连接PP'，

∴PA= P'A=4，PC= P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B= ∠APC =135°，

∴∠PP'A=45°，

∴PP'，∠PP'B=135°-45°=90°，

∴；

[方法迁移]：

如图二，将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，

∴PA= P'A=2，PC= P'B=1，∠PAP'=60°，

∴△PAP'是等边三角形，

∴PP'= PA= 2，

∵，即，

∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，

∴∠APB=60°+30°=90°；

[能力拓展]：

如图三，将△CAD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，

∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，

∵∠DCE=60°，

∴∠DCE=∠ECD'=60°，

又∵CE=CE，

∴△CDE≌△CD'E（SAS），

∴DE=D'E，

又∵∠A=∠ABC=，

∴∠A=∠CBD'=30°，

∴∠EBD'=60°，

过点D'作D'F⊥AB于F，

∴BF=，D'F=，

∴EF=2，

∴，

∴.