Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，在边BC上取点D，使BD=2DC，BE⊥AD交AC于E，垂足为F．求证：AE=EC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作AC⊥CG交AD的延长线于点G，则可证明△ABE≌△CAG，可得到AE=GC，再证明△ABD∽△CGD，利用相似比可得到AB=2CG，结合条件可得到AC=2AE，即AE=EC．

解答：证明：作AC⊥CG交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠BAG=∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠CAG=∠ABE，
在△ABE和△CAG中，

∠ABE=∠CAG ∠BAE=∠ACG AB=AC

，
∴△ABE≌△CAG（AAS），
∴AE=GC，
∵AB⊥AC，GC⊥AC，
∴AB∥CG，
∴

AB

CG

=

BD

CD

=2，
∴AB=2GC，
∵CG=AE，AB=AC，
∴AC=2AE，
∴AE=EC．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及平行线分线段成比例的性质，由全等得到AE=CG，再由相似找到AC与CG的关系是解题的关键，注意全等三角形、相似三角形的性质的应用．