Question

如图，矩形ABCD，AB是⊙O的直径，CE⊥AB，垂足为E，交AD于F，求证：AC²=AF•AD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接CD，由圆周角定理可得∠ADC=∠ABC，再根据直角三角形的性质得出∠ACE=∠ABC，故可得出∠ADC=∠ACE，所以△ACF∽△ADC，故可得出结论．

解答：证明：连接CD，
∵∠ADC与∠ABC是同弧所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC．
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠CAB∠ABC=90°，∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠ADC=∠ACE，
∴△ACF∽△ADC，
∴

AC

AD

=

AF

AC

，即AC²=AF•AD．

点评：本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质等知识点．通过构建与所求相关的相等角是解题的关键．