Question

已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是

ABC

的中点，弦DE⊥AB于点F，DE交AC于点G．
（1）如图1，求证：∠BAC=∠OED；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF=3，FB=

4

3

，求tan∠DAC的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）延长DO交AC于G，如图1，根据垂径定理的推论，由点D是

ABC

的中点得DG⊥AC，则∠A+∠AOG=90°，再利用DE⊥AB得到∠D+∠DOF=90°，易得∠A=∠D，加上∠OED=∠D，所以∠BAC=∠OED；
（2）连结AD、OD，如图2，先计算出AB=AF+BF=

13

3

，则OA=OC=OB=

1

2

AB=

13

6

，OF=OB-BF=

5

6

，在Rt△OFD中，利用勾股定理计算出DF=2，则在Rt△ADF中利用正切的定义得到tan∠ADF=

3

2

；接着利用圆周角定理证明∠ADE=∠DAC，这样就可得到tan∠DAC=

3

2

．

解答：（1）证明：延长DO交AC于G，如图1，
∵点D是

ABC

的中点，
∴DG⊥AC，
∴∠A+∠AOG=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠D+∠DOF=90°，
而∠DOF=∠AOG，
∴∠A=∠D，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D，
∴∠BAC=∠OED；
（2）解：连结AD、OD，如图2，
∵AF=3，FB=

4

3

，
∴AB=AF+BF=

13

3

，
∴OA=OC=OB=

1

2

AB=

13

6

，
∴OF=OB-BF=

5

6

，
在Rt△OFD中，∵OD=

13

6

，OF=

5

6

，
∴DF=

OD2-OF2

=2，
在Rt△ADF中，tan∠ADF=

AF

DF

=

3

2

，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AE

，
而

AD

=

DC

，
∴

AE

=

DC

，
∴∠ADE=∠DAC，
∴tan∠DAC=

3

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和勾股定理．