Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S_△ABC=，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；

（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

　

　  

Answer 1

解：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，

∵AC=9，S_△ABC=，

∴AC•BM=，即×9•BM=，

解得BM=3．

由勾股定理，得

AM===4，

则tanA==；

（2）存在．

如图2，过点P作PN⊥AC于点N．

依题意得AP=CQ=5t．

∵tanA=，

∴AN=4t，PN=3t．

∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．

根据勾股定理得到：PN²+NQ²=PQ²，

S_{正方形PQEF}=PQ²=（3t）²+（9﹣9t）²=90t²﹣162t+81（0＜t＜）．

∵﹣==在t的取值范围之内，

∴S_最小值===；

（3）

①如图3，当点E在边HG上时，t₁=；

②如图4，当点F在边HG上时，t₂=；

③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t₃=1

④如图6，当点F边C上时，t₄=．