Question

如图，在⊙O中，AD∥BC，AC⊥BD垂足为E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若AD=4，M为AD的中点，延长ME交BC于F，
①判断EF与BC的位置关系；
②求OF的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）易证∠CBE=∠CAD和∠CAD=∠ECB，即可求得∠CBE=∠ECB，即可解题；
（2）①易证AE=DE，根据M为AD的中点和等腰三角形底边三线合一的性质，可得∠EFC=∠AMD=90°，根据（1）中结论BE=CE即可解题；
②连接AO，易证∠AOB=90°，即可求得∠AOM=∠OBF，即可证明△BOF≌△OAM，可得OF=AM，即可解题．

解答：（1）∵

CD

=

CD

，
∴∠CBE=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ECB，
∴∠CBE=∠ECB，
∴BE=CE；
（2）①EF垂直平分BC；
理由：∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠ADE，
∵∠CBE=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=DE，
∵M为AD的中点，
∴EM⊥AD，
∴∠AME=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EFC=∠AMD=90°，
∴EF⊥BC，
∵BE=CE，
∴BF=FC，
∴EF垂直平分BC；
②连接AO，

∵OB=OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴O在EF上；
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠BOA=90°，
∵∠AOM+∠BOF=90°，∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOM=∠OBF，
∵MF⊥BC，
∴∠MFC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AME=90°，
在△BOF和△OAM中，

∠AME=∠OFB=90° ∠OBF=∠AOM BO=AO

，
∴△BOF≌△OAM，（AAS）
∴OF=AM=2．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BOF≌△OAM是解题的关键．