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【题目】四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,则称这点为这个四边形的准等距点.如图,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点,PD=PB,PA≠PC,则点P为四边形ABCD的准等距点.
(1)如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.
(2)如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).
(3)如图4,在四边形ABCD中,P是AC上的点,PA≠PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求证:点P是四边形ABCD的准等距点.

【答案】
(1)解:如图2,点P即为所画点.


(2)解:如图3,点P即为所作点


(3)解:证明:连接DB,

在△DCF与△BCE中,

∴△DCF≌△BCE(AAS),

∴CD=CB,

∴∠CDB=∠CBD.

∴∠PDB=∠PBD,

∴PD=PB,

∵PA≠PC

∴点P是四边形ABCD的准等距点


【解析】(1)根据菱形的性质,在菱形对角线上找出除中心外的任意一点即可;(2)作对角线BD的垂直平分线于与另一对角线AC相交于点P,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P即为所求的准等距点;(3)连接BD,先利用“角角边”证明△DCF和△BCE全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=CB,再根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠CBD,从而得到∠PDB=∠PBD,然后根据等角对等边的性质可得PD=PB,根据准等距点的定义即可得证.

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