Question

已知关于x的一元二次方程x²-（m+3）x+

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（ m+2）=0
（1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根
（2）设x₁、x₂是方程的两根，且满足x₁²+x₂²-x₁x₂=

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，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

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（m+2），再把x₁²+x₂²-x₁x₂=

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利用完全平方公式变形为（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=

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，然后代入计算即可求解．

解答：（1）证明：△=[-（m+3）]²-4×

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（m+2）=m²+6m+9-2m-4=m²+4m+5=（m+2）²+1，
∵（m+2）²≥0，
∴（m+1）²+1＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵这个方程的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

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（m+2），
而x₁²+x₂²-x₁x₂=

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，
∴（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=

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，
∴（m+3）²-3×

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（m+2）=

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，
∴2m²+9m-5=0，
解得m=-5或

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2

．

点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，同时考查了解方程的综合应用能力及推理能力．