【题目】[问题情境]
已知矩形的面积为一定值1,当该矩形的一组邻边分别为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
[数学模型]
设该矩形的一边长为x,周长为L,则L与x的函数表达式为 .
[探索研究]
小彬借鉴以前研究函数的经验,先探索函数的图象性质.
(1)结合问题情境,函数的自变量x的取值范围是 ,
如表是y与x的几组对应值.
x | … | 1 | 2 | 3 | m | … | |||
y | … | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | … |
①直接写出m的值;
②画出该函数图象,结合图象,得出当x= 时,y有最小值,y的最小值为 .
[解决问题]
(2)直接写出“问题情境”中问题的结论.
【答案】[数学模型]L=2(x);[探索研究](1)x>0;①m的值为4;②1,2;(2)当邻边分别为1和1时,它的周长最小,最小值是4.
【解析】
[数学模型]求出另一边长,然后根据矩形的周长公式即可得到结论;
[探索研究](1)根据边长大于0可得自变量x的取值范围;
①求出y=4时x的值即可;
②根据表中的数据画出函数的图象,再结合表中的数据和函数图象得到y的最小值;
(2)根据(1)中的结论就可以求出周长的最小值.
[数学模型]∵矩形的面积为1,一边长为x,
∴另一边长为:,
∴L与x的函数表达式为:L=2(x);
[探索研究](1)自变量x的取值范围是x>0;
①当y=4时,即,
解得:x=4或,
∴m的值为4;
②函数图象如图:
由图象得:当0<x<1时,y随x增大而减小;当x>1时,y随x增大而增大;
∴当x=1时,函数y=x(x>0)的最小值为2.
(2)当邻边分别为1和1时,它的周长最小,最小值是4.
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【题目】曲阜限制“三小车辆”出行后,为方便市民出行,准备为、、、四个村建一个公交车站.
(1)请问:公交站建在何处才能使它到4个村的距离之和最小,请在图一中找出点;
(2)请问:公交站建在何处才能使它到道路、、的距离相等,请在图二中找出点并加以说明.
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【题目】某种蔬菜每千克售价(元)与销售月份之间的关系如图1所示,每千克成本(元)与销售月份之间的关系如图2所示,其中图1中的点在同一条线段上,图2中的点在同一条抛物线上,且抛物线的最低点的坐标为(6,1).
(1)求出与之间满足的函数表达式,并直接写出的取值范围;
(2)求出与之间满足的函数表达式;
(3)设这种蔬菜每千克收益为元,试问在哪个月份出售这种蔬菜,将取得最大值?并求出此最大值.(收益=售价-成本)
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【题目】如图,,,点在轴上,且.
(1)求点的坐标,并画出;
(2)求的面积;
(3)在轴上是否存在点,使以三点为顶点的三角形的面积为10?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点F为AC中点,⊙O经过点B,F,且与AC交于点D,与AB交于点E,与BC交于点G,连结BF,DE,弧EFG的长度为(1+)π.
(1)求⊙O的半径;
(2)若DE∥BF,且AE=a,DF=2+﹣a,请判断圆心O和直线BF的位置关系,并说明理由.
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【题目】有两把不同的锁和四把不同的钥匙,其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁,其余的钥匙不能打开这两把锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果;
(2)求一次打开锁的概率.
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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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