Question

【题目】在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连结BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．、（1）如图1，若D为AC边上的中点．

（1）填空：∠C＝　 　，∠DBC＝　 　；

（2）求证：△BDE≌△CDF．

（3）如图2，D从点C出发，点E在PD上，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤1≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°，45°；（2）见解析；（3）当t＝0时，△PBE≌△CAE一对，当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三对，当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性质结合ASA进而得出答案；

（3）当t＝0时，t＝2时，t＝4时分别作出图形，得出答案．

（1）解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，

∴∠C＝45°，BD⊥AC，

∴∠DBC＝45°；

故答案为：45°；45°；

（2）证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，

∴BD⊥AC，

又∵ED⊥DF，

∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF=90°，

∴∠BDE＝∠CDF，

∵∠C＝∠DBC＝45°，

∴BD＝DC，∠EBD=90°-∠DBC=45°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（ASA）；

（3）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；

理由：∵BP∥AC

∴∠P=∠ACE

在△PBE和△CAE中，

∴△PBE≌△CAE（AAS）

如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三对；

理由：在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS）

由（2）可知∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE，

∴∠ADE=∠BDF

在△AED和△BFD中，

∴△AED≌△BFD（ASA）

同理可证△BED≌△CFD.

如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．

理由：∵PB∥AC，

∴∠PBA=∠CAB，

在△PBA和△CAB中，

∴△PBA≌△CAB（SAS）

综上所述，答案为：

当t＝0时，△PBE≌△CAE一对，当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三对，当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．