【题目】如图1,△ABC~△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=6,AC=8,点D在线段BC上运动,
(1)如图1,求证:△ABD∽△ACE
(2)如图2,当AD⊥BC时,判断四边形ADCE的形状,并证明.
(3)当点D从点B运动到点C时,设P为线段DE的中点,在点D的运动过程中,求CP的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)四边形ADCE是矩形,见解析;(3)4
【解析】
(1)先判断出∠BAD=∠CAE,再判断出,即可得出结论;
(2)先判断出∠ADB=90°,根据相似判断出∠AEC=90°,即可得出结论;
(3)先判断出CP最小时,AD最小,再根据直角三角形的面积的计算方法求出AD的最小值,即可得出结论.
解:(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
∵△ABC~△ADE,
∴,
∴△ABD∽△ACE;
(2)∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
由(1)知△ABD∽△ACE,
∴∠AEC=∠ADB=90°,
∵∠DAE=90°,
∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°,
∴四边形ADCE是矩形;
(3)如图1,
连接CP,
在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,根据勾股定理得,BC=10,
∵△ABC∽△ADE,
∴,
∴DE==AD=AD,
由(1)知,△ABD∽△ACE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠ACB=90°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°,
∴CP=DE,
∵DE=AD,
∴CP=×AD=AD,
要CP最小,则AD最小,
即:当AD⊥BC时,AD最小,
∵S△ABC=ABAC=BCAD最小,
∴AD最小=,
即:CP最小=AD最小=×=4,
即CP的最小值为4.
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【题目】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图1,是的直径,点在上,,垂足为,,分别交、于点、.求证:.
图1 图2
(1)本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
(2)如图2,若点和点在的两侧,、的延长线交于点,的延长线交于点,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若,,求
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【题目】某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下:
a.七年级成绩频数分布直方图:
b.七年级成绩在这一组的是:70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下:
年级 | 平均数 | 中位数 |
七 | 76.9 | m |
八 | 79.2 | 79.5 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 人;
(2)表中m的值为 ;
(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由;
(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.
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【题目】如图,在梯形中,,,,.点是线段上的动点,点、分别是线段、上的点,且,联结、.
(1)求证:;
(2)当时,如果是以为腰的等腰三角形,求线段的长;
(3)当时,求的正切值.(用含的式子表示)
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【题目】在慈善一日捐活动中,学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计,并绘制成下面的统计图,
(1)这50名同学捐款的众数为 元,中位数为 元;
(2)求这50名同学捐款的平均数;
(3)该校共有800名学生参与捐款,请估计该校学生的捐款总数.
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【题目】如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,求A,C两港之间的距离.
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【题目】某商场销售一种成本为每件元的商品,销售过程中发现,每月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数.商场销售该商品每月获得利润为(元).
(1)求与之间的函数关系式;
(2)如果商场销售该商品每月想要获得元的利润,那么每件商品的销售单价应为多少元?
(3)商场每月要获得最大的利润,该商品的销售单价应为多少?
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【题目】两地相距,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发.图中表示两人离地的距离与时间的关系,结合图象,下列结论错误的是( )
A.是表示甲离地的距离与时间关系的图象
B.乙的速度是
C.两人相遇时间在
D.当甲到达终点时乙距离终点还有
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【题目】如图,在中,,点是边上的动点(不与重合),点在边上,并且满足.
(1)求证:;
(2)若的长为,请用含的代数式表示的长;
(3)当(2)中的最短时,求的面积.
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