Question

已知抛物线y=x²-4x+k的顶点A在直线y=-4x+4上，抛物线与直线y=-4x+4的另一交点为B，抛物线与x轴交于C、D两点﹙C在左侧﹚．求：
（1）抛物线的顶点坐标；
（2）点B的坐标；
（3）S_△ABC；
（4）四边形ABCD的面积和S_△ABD．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）由抛物线解析式求出顶点横坐标，代入直线y=-4x+4中求出纵坐标，即可确定出顶点坐标；
（2）由顶点坐标确定出k的值，进而确定出抛物线解析式，与y=-4x+4联立求出B坐标即可；
（3）如图所示，连接BC，AC，由直线AB解析式求出E坐标，得到CE的长，三角形ABC面积=三角形BCE面积+三角形ACE面积，求出即可；
（4）连接BD，AD，三角形ABD面积=三角形BED面积+三角形AED面积，再由三角形ABD面积+三角形ABC面积求出四边形ACBD面积即可．

解答：解：（1）抛物线y=x²-4x+k=（x-2）²+k-4，
∴顶点横坐标为2，
将x=2代入得：y=-4x+4=-4，
则顶点坐标为（2，-4）；
（2）将（2，-4）代入抛物线解析式得：-4=4-8+k，
解得：k=0，即抛物线解析式为y=x²-4x，
联立得：

y=x2-4x y=-4x+4

，
解得：

x=2 y=-4

或

x=-2 y=12

，
则B（-2，12）；
（3）如图所示，连接AC，BC，设直线AB与x轴交于E点，
对于抛物线y=x²-4x=x（x-4），
令y=0，得到x=0或x=4，即C（0，0），D（4，0），
对于直线y=-4x+4，令y=0，得到x=1，即直线y=-4x+4与x轴交点E为（1，0），
则S_△ABC=S_△BCE+S_△ACE=

1

2

×1×12+

1

2

×1×4=6+2=8；
（4）连接BD，AD，
∵CD=4，CE=1，
∴ED=CD-CE=3，
∴S_△ABD=S_△BED+S_△AED=

1

2

×3×12+

1

2

×3×4=18+6=24；
则S_{四边形ACBD}=8+24=32．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．