Question

如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G．求证：
（1）∠BGC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）；
（2）∠BGC=90°+

1

2

∠A．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠GBC=

1

2

∠ABC，∠GCB=

1

2

∠ACB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，然后代入整理即可得证．

解答：证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，
∴∠GBC=

1

2

∠ABC，∠GCB=

1

2

∠ACB，
∴∠GBC+∠GCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）；
即：∠BGC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
所以，∠BGC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
即：∠BGC=90°+

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．