【题目】如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
(1)由图1通过观察、猜想可以得到线段AC与线段BC的数量关系为___,位置关系为__;
(2)保持图1中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线AD、BE在直线MN的同侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明(第一问中得到的猜想结论可以直接在证明中使用);
(3)保持图2中的△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有___关系.
【答案】(1)AC=BC,AC⊥BC,;(2)DE=AD+BE,理由见解析;(3)DE=BEAD.
【解析】
(1)根据矩形的性质及勾股定理,即可证得△ADC≌△BEC,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)通过证明△ACD≌△CBE,根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系;
(3)通过证明△ACD≌△CBE,根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系.
(1)AC=BC,AC⊥BC,
在△ADC与△BEC中, ,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AC=BC,∠DCA=∠ECB.
∵AB=2AD=DE,DC=CE,
∴AD=DC,
∴∠DCA=45°,
∴∠ECB=45°,
∴∠ACB=180°∠DCA∠ECB=90°.
∴AC⊥BC,
故答案为:AC=BC,AC⊥BC;
(2)DE=AD+BE.理由如下:
∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE,
在△ACD与△CBE中, ,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,DC=EB.
∴DC+CE=BE+AD,
即DE=AD+BE.
(3)DE=BEAD.理由如下:
∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE,
在△ACD与△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,DC=EB.
∴DCCE=BEAD,
即DE=BEAD,
故答案为:DE=BEAD.
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【题目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO,交AD于点F,OE⊥OB交BC于点E.
(1)如图1,当O为边AC中点,时,求
的值.小明这样想的,过O点作OH∥AB交BC于点H,可证△AOF∽△HOE,于是求出答案,请你直接写出答案
;
(2)如图2,当O为边AC中点,时,请求出
的值,并说明理由;
(3)如图3,当,
时,请直接写出
的值.
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【题目】如图所示是长方体的平面展开图,设,若
.
(1)求长方形的周长与长方形
的周长(用字母
进行表示) ;
(2)若长方形的周长比长方形
的周长少8,求原长方体的体积.
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【题目】以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤取一张正方形的纸片进行折叠,具体操作过程如下:
第一步:如图,先把正方形ABCD对折,折痕为MN;
第二步:点E在线段MD上,将△ECD沿EC翻折,点D恰好落在MN上,记为点P,连接BP可得△BCP是等边三角形
问题:在折叠过程中,可以得到PB=PC;依据是________________________.
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【题目】如图,在数轴上有两个长方形和
,这两个长方形的宽都是2个单位长度,长方形
的长
是4个单位长度,长方形
的长
是8个单位长度,点
在数轴上表示的数是5,且
两点之间的距离为12.
(1)填空:点在数轴上表示的数是_________ ,点
在数轴上表示的数是_________.
(2)若线段的中点为
,线段EH上有一点
,
,
以每秒4个单位的速度向右匀速运动,
以每秒3个单位的速度向左运动,设运动时间为
秒,求当
多少秒时,
.
(3)若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动,长方形
固定不动,当两个长方形重叠部分的面积为6时,求长方形
运动的时间.
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【题目】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,则一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为( )
A.B.2020C.2019D.2018
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【题目】已知:抛物线y=a(x-m)(x+3m)(a<0,m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,直线l:y=kx+b经过点B,且与该抛物线有唯一公共点,平移直线l交抛物线于M、N两点(点M、N分别位于x轴上方和下方)
(1) 若,C(0,
)
① 求该抛物线的解析式
② 如图1,连接AM、AN,求证:∠MAB=∠NAB
(2) 如图2,连接MC.若MC∥x轴,求的值
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【题目】用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按下图所示的方式铺宽为1.5米的小路.
(1)铺第5个图形用黑色正方形瓷砖 块;
(2)按照此方式铺下去,铺第 n 个图形用黑色正方形瓷砖 块;(用含 n的代数式表示)
(3)若黑、白两种颜色的瓷砖规格都为( 长0.5米宽0.5米),且黑色正方形瓷砖每块价格 25 元,白色正方形瓷砖每块价格30元,若按照此方式恰好铺满该小路某一段(该段小路的总面积为 18.75 平方米),求该段小路所需瓷砖的总费用.
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