Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°；
（1）如图1，EM∥AB，分别交AF、AD于点Q、M，求证：FD=FQ；
（2）如图2，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，∠DEC=30°，HF=$\frac{3}{2}$，求EC的长．

Answer 1

分析 （1）证得△ADF≌EQF，即可证得结论；
（2）延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．

解答 （1）证明：如图1，∵∠EAF=45°，AF⊥BD，
∴AF=EF，
∵EM∥AB，∠BAC=90°，
∴∠AME=90°，
∴∠AQM+∠FAD=90°，
∵∠ADF+∠FAD=90°，
∴∠AQM=∠ADF，
∴∠EQF=∠ADF，
在△ADF和EQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠EQF}\\{∠AFD=∠EFQ=90°}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌EQF（AAS），
∴FD=FQ；
（2）解：如图2，延长AF交CE于P，
∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABH=∠PAC，
∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，
∴∠HEK=∠FAH，
∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，
∴∠AHF=∠EPF，
∴∠AHB=∠APC，
在△ABH与△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠PAC}\\{AB=AC}\\{∠AHB=∠APC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△APC（ASA），
∴AH=CP，
在△AHF与△EPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHF=∠EPF}\\{∠AFH=∠EFP=90°}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△AHF≌△EPF（AAS），
∴AH=EP，∠CED=∠HAF，
∴EC=2AH，
∵∠DEC=30°，
∴∠HAF=30°，
∴AH=2FH=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴EC=2AH=6．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，（2）作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．