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【题目】在等腰RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是边BC上任意一点,连接AD,过点CCEAD于点E.

(1)如图1,若∠BAD=15°,且CE=1,求线段BD的长;

(2)如图2,过点CCFCE,且CF=CE,连接FE并延长交AB于点M,连接BF,求证:AM=BM.

【答案】(1) 2﹣ ;(2)见解析

【解析】分析:(1)先求得:∠CAE=45°-15°=30°,根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2,再得∠ECD=90°-60°=30°,设ED=x,则CD=2x,利用勾股定理得:x=1,求得x的值,可得BD的长;

(2)如图2,连接CM,先证明△ACE≌△BCF,则∠BFC=∠AEC=90°,证明C、M、B、F四点共圆,则∠BCM=∠MFB=45°,由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM.

详解:(1)∵∠ACB=90°AC=BC

∴∠CAB=45°

∵∠BAD=15°

∴∠CAE=45°15°=30°

RtACE中,CE=1

AC=2CE=2

RtCED中,∠ECD=90°60°=30°

CD=2ED

ED=x,则CD=2x

CE=x

x=1

x=

CD=2x=

BD=BCCD=ACCD=2

2)如图2,连接CM

∵∠ACB=ECF=90°

∴∠ACE=BCF

AC=BCCE=CF

∴△ACE≌△BCF

∴∠BFC=AEC=90°

∵∠CFE=45°

∴∠MFB=45°

∵∠CFM=CBA=45°

CMBF四点共圆,

∴∠BCM=MFB=45°

∴∠ACM=BCM=45°

AC=BC

AM=BM

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