Question

已知：如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=3

3

cm．以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系．设P是AB边上的动点，从点A向B点匀速运动，速度为1cm/秒；Q是OB上的动点，从点O向B点匀速运动，速度为2cm/秒；当任意一点到达点B，运动随之停止．
（1）求∠B的度数；
（2）设P，Q移动时间为t秒，建立△OPQ的面积S（cm²）与t（秒）之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当PQ=QB时，求t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据正切函数的定义，可得正切函数，根据特殊角的正切函数值，可得角的度数；
（2）根据勾股定理，可得AB的长，根据线段的和差，可得PB的长，根据锐角三角函数，可得PC的长，根据三角形的面积公式，可得答案，根据路程除以速度，可得P点所用时间，Q点所用时间，可得定义域；
（3）根据线段的和差，可得PB，QB的长，根据等腰三角形的性质，可得HB的长，根据锐角三角函数，可得HB与QB的关系，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）由正切函数，得
tan∠B=

OA

OB

=

3

3 3

=

3

3

，
得∠B=30°；
（2）如图1：

作PC⊥OB与P点，
A（0，3），B（3

3

，0）由勾股定理，得
AB=

OA2+OB2

=

32+(3 3 )2

=6，
P的速度是1cm/秒，AP=t，PB=6-t；
PC=PB•sin∠B=（6-t）sin30°=3-

1

2

t；
Q是OB上的动点，从点O向B点匀速运动，速度为2cm/秒，得
OQ=2t，
S=

1

2

OQ•PC=

1

2

×2t（3-

1

2

t）=-

1

2

t²+3t，
p行全程用时6秒，Q行全程用时

3 3

2

秒，
故Q先到达B点，运动即停止，P并未到达B点，
∴0≤t≤

3 3

2

；
（3）如图2：作QH⊥PB．
，
由QB=QP，得三角形PQB是等腰三角形，即∠QPB=∠PBQ=30°，∠PQB=120°，
HB=

PB

2

，
PB=6-t，
HB=

6-t

2

，
QB=3

3

-2t，
cos∠QBH=

HB

QB

=

3

2

，即HB=

3

2

QB，

6-t

2

=

3

2

（3

3

-2t）．
解得t=

6 3 +3

11

．

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了锐角三角函数，三角形面积公式，等腰三角形的性质．