Question

【题目】已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．

（1）直接写出A、B、C、D坐标；

（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣)；（2）存在，(，﹣)；（3）﹣＜t＜﹣1

【解析】

（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；

（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；

（3）求出直线y＝x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．

解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，

当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

∵D为OC的中点，

∴D（0，﹣）；

（2）存在，理由如下：

设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，

将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，

解得k＝1，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

设直线BD的解析式为y＝mx﹣，

将点B（3，0）代入y＝mx﹣，

解得m＝，

∴直线BD的解析式为y＝x﹣，

设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），

∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

当EH＝HG＝GP时，﹣x+＝﹣x2+3x，

解得x1＝，x2＝3（舍去），

∴点P的坐标为（，﹣）；

（3）当直线y＝x+t经过点B时，

将点B（3，0）代入y＝x+t，

得，t＝﹣1，

当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，

即x2﹣x﹣3﹣t＝0，

△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，

解得t＝﹣，

∴由图2可以看出，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣＜t＜﹣1时．