Question

已知：

x+2y-z=3 2x-y+3z=6

，试求x²-y²+xz的最大值或最小值，并指出此时x，y，z的值．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方,解三元一次方程组

专题：计算题

分析：先把方程组看作关于x、y的二元一次方程组，解得x=3-z，y=z，则原式=-z²-3z+9，再利用配方法得到原式=-（z+

3

2

）²+

45

4

，然后根据非负数的性质得到当z=-

3

2

时，原式有最大值

45

4

，接着计算对应的x和y的值．

解答：解：

x+2y-z=3① 2x-y+3z=6②

，
①×2-②得5y-5z=0，解得y=z，
①+②×2得5x+5z=15，解得x=3-z，
∴原式=（3-z）²-z²+（3-z）•z
=-z²-3z+9
=-（z+

3

2

）²+

45

4

，
∵（z+

3

2

）²≥0，
∴-（z+

3

2

）²≤0，
∴-（z+

3

2

）²+

45

4

≤

45

4

，
∴当z=-

3

2

时，原式有最大值

45

4

，
此时x=3+

3

2

=

9

2

，y=z=-

3

2

．

点评：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质和解三元一次方程组．