Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以EF为直径的半圆M如图所示位置摆放，点E与点A重合，点F与点B重合，点F从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动，点E随之沿AB下滑，并带动半圆M在平面滑动，设运动时间t（t≥0），当E运动到B点时停止运动．

发现：M到AD的最小距离为　 　，M到AD的最大距离为　 　．

思考：①在运动过程中，当半圆M与矩形ABCD的边相切时，求t的值；

②求从t=0到t=4这一时间段M运动路线长；

探究：当M落在矩形ABCD的对角线BD上时，求S△EBF．

Answer 1

【答案】4、8；①当t=0或t=4或t=8时，半圆M与矩形ABCD的边相切；②π；

【解析】

发现：当点A与点E重合时，点M与AD的距离最小，当点E与点B重合时，点M到AD的距离最大，据此可得；
思考：①根据题意知t=0时半圆M与AD、BC相切，当t=8时半圆M与AB相切，当半圆M与CD相切时，设切点为N，延长NM交AB于点Q，由M是EF的中点且QM∥BF知，据此可得t=BF=2QM=4；
②t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为，由Rt△EBF中BM=MF=BF=4知△BMF是等边三角形，据此可得∠MBF=60°、∠MBM′=30°，利用弧长公式计算可得；
探究：当点M落在BD上时，由四边形BCDA是矩形知∠OAB=∠OBA，由BM是Rt△EBF斜边EF的中线知BM=EM、∠MBE=∠BEM，得出∠OAB=∠BEM及EF∥AC，从而知，据此解答可得．

解：发现：当点A与点E、点B与点F重合时，点M与AD的距离最小，最小距离为4；

当点E与点B重合时，点M到AD的距离最大，最大距离为8；

故答案为：4、8；

思考：①由于四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∴当t=0时，半圆M既与AD相切、又与BC相切；

如图1，当半圆M与CD相切时，设切点为N，

∴∠MNC=90°，

延长NM交AB于点Q，

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCNQ是矩形，

∴QN=BC=6，QM=QN﹣MN=2，

∵M是EF的中点，且QM∥BF，

∴ ，

∴t=BF=2QM=4；

当t=8时，∵∠ABM=90°，

∴半圆M与AB相切；

综上，当t=0或t=4或t=8时，半圆M与矩形ABCD的边相切；

②如图2，t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为 ，

t=4时，BF=4，

由于在Rt△EBF中，EM=MF=4，

∴BM=MF=4，

∴BM=MF=BF=4，

∴△BMF是等边三角形，

∴∠MBF=60°，

∴∠MBM′=30°，

则=；

探究：如图3，

∵AB=8、AD=6，

∴BD=10，

当点M落在BD上时，

∵四边形BCDA是矩形，

∴OB=OA，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BM是Rt△EBF斜边EF的中线，

∴BM=EM，

∴∠MBE=∠BEM，

∴∠OAB=∠BEM，

∴EF∥AC，

∴ ，

∵S△ABC=24，

∴S△EBF=．