Question

如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于点P．求当AP=

1

4

AB时，∠B的大小．

Answer 1

考点：垂径定理,含30度角的直角三角形,圆周角定理

专题：计算题

分析：根据垂径定理由CD⊥AB得到

AC

=

AD

，根据圆周角定理得∠ACP=∠B，于是可判断Rt△CAP∽Rt△BCP，利用相似比得CP²=AP•PB，再由AP=

1

4

AB得到PA=

1

3

PB，所以CP²=

1

3

PB•PB，解得CP=

3

3

PB，然后在Rt△BCP中利用∠B的正切求出∠B的度数．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠ACP=∠B，
∴Rt△CAP∽Rt△BCP，
∴

CP

PB

=

AP

CP

，
∴CP²=AP•PB，
∵AP=

1

4

AB，
∴PA=

1

3

PB，
∴CP²=

1

3

PB•PB，解得CP=

3

3

PB，
在Rt△BCP中，∵tanB=

CP

PB

=

3

3

，
∴∠B=30°．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了锐角三角函数的定义和圆周角定理．