Question

在平面直角坐标系中，将抛物线y₁=x²-4x+1向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y₂，然后将抛物线y₂绕其顶点顺时针旋转180°，得到抛物线y₃．
（1）求抛物线y₂、y₃的解析式．
（2）求y₃＜0时，x的取值范围．
（3）判断以抛物线y₃的顶点以及其与x轴的交点为顶点的三角形的形状，并求它的面积．

Answer 1

（1）由y₁=x²-4x+1得：y₁=（x-2）²-3，（1分）
由题意得：y₂=（x-2+3）²-3+4即：y₂=x²+2x+2 （1分）
因为将抛物线y₂绕其顶点顺时针旋转180°得到的抛物线开口向下，顶点不变，形状不变，所以y₃=-（x+1）²+1．
即：y₃=-x²-2x． （1分）

（2）令y₃=0即：-x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=-2，（1分）
由函数图象（图略）可知，当x＜-2或x＞0时，y₃＜0．（1分）


（3）由图象可知，此三角形为等腰直角三角形．（1分）
由题意知抛物线y₃的顶点坐标为：x=

-2

2

=-1，则y₃=-1+2=1．
∴y₃的顶点坐标为：（-1，1），S=

1

2

×2×1=1，所以此三角形的面积为1．（1分）