【题目】已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.
【答案】
(1)证明:∵ED=EC,
∴∠EDC=∠C,
∵∠EDC=∠B,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC
(2)方法一:
解:连接AE,
∵AB为直径,
∴AE⊥BC,
由(1)知AB=AC,
∴BE=CE= BC= ,
∵△CDE∽△CBA,
∴ ,
∴CECB=CDCA,AC=AB=4,
∴ 2 =4CD,
∴CD= .
方法二:
解:连接BD,
∵AB为直径,
∴BD⊥AC,
设CD=a,
由(1)知AC=AB=4,
则AD=4﹣a,
在Rt△ABD中,由勾股定理可得:
BD2=AB2﹣AD2=42﹣(4﹣a)2
在Rt△CBD中,由勾股定理可得:
BD2=BC2﹣CD2=(2 )2﹣a2
∴42﹣(4﹣a)2=(2 )2﹣a2
整理得:a= ,
即:CD= .
【解析】(1)由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C,由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B,由此推得∠B=∠C,由等腰三角形的判定即可证得结论;(2)连接AE,由AB为直径,可证得AE⊥BC,由(1)知AB=AC,证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长.
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【题目】如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数 (k为常数,且k≠0)的图象都经过点A(m,2)
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;
(2)结合图象直接比较:当x>0时,y1和y2的大小.
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【题目】如图,已知线段AB=20cm,CD=2cm,线段CD在线段AB上运动,E、F分别是AC、BD的中点.
(1)若AC=4cm,则EF=_______cm.
(2)当线段CD在线段AB上运动时,EF的长度是否改变,如果变化,请说明理由.
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【题目】先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0
∴(m+n)2+(n-3)2=0
∴m+n=0,n-3=0
∴m=-3,n=3
问题(1)若x2+2y2-2xy-4y+4=0,求xy的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2-6a-6b+18+| 3-c |=0,请问△ABC是怎样形状的三角形.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上﹣点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.
(1)求证:AF=CG;
(2)写出图中长度等于2DE的所有线段.
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【题目】如图,方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形,若学校位置坐标为A(1,2),解答以下问题:
(1)请在图中建立适当的直角坐标系,并写出图书馆B位置的坐标;
(2)若体育馆位置坐标为C(-3,3),请在坐标系中标出体育馆的位置,并顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到△ABC,求△ABC的面积.
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【题目】如图,已知点B、E、C、F在一条直线上,AC∥DE,AC=DE,∠A=∠D.
(1)求证:AB=DF;
(2)若BC=9,EC=6,求BF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴和y轴上,OA=1,OB= ,连接AB,过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别是点A1、B1 , 连接A1B1 , 再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线,照此规律依次作下去,则点Cn的坐标为 .
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【题目】已知点P(x0 , y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d= 计算. 例如:求点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离.
解:因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离为d= = = .
根据以上材料,解答下列问题:
(1)点P(1,﹣1)到直线y=x+1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q的坐标为(0,4),半径r为2,判断⊙Q与直线y= x+8的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x+1与y=﹣2x+6平行,A、B是直线y=﹣2x+1上的两点且AB=8,P是直线y=﹣2x+6上任意一点,求△PAB的面积.
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