Question

17．阅读并完成下面的数学探究：
（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，仍有EF=BE+FD．
（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（$\sqrt{3}-1$），连E、F，求EF的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质和正方形的性质证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，证明结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，证明△EAF≌△HAF，证明即可；
（3）延长BA交CD的延长线于P，连接AF，根据四边形内角和定理求出∠C的度数，得到∠P=90°，求出PD、PA，证明∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，又（2）的结论得到答案．

解答 （1）证明：由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴G、D、F在同一条直线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，
∴∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∴EF=BE+FD；
（2）当∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，仍有EF=BE+FD．
证明：如图（2），把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，
则BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，
∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一条直线上，
当∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，∠EAF=∠HAF，
由（1）得，△EAF≌△HAF，
则EF=FH，即EF=BE+FD，
故答案为：∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD；
（3）如图（3），延长BA交CD的延长线于P，连接AF，
∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，
∴∠C=30°，
∴∠P=90°，又∠ADC=120°，
∴∠ADP=60°，
∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40$\sqrt{3}$，
∴PF=PD+DF=40$\sqrt{3}$，
∴PA=PF，
∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，
∴∠DAF=15°，
∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，
∴EF=BE+FD=40（$\sqrt{3}+1$）．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边都相等、四个角都是直角，旋转变换的旋转角相等、旋转后的三角形与原三角形全等是解题的关键．